Un teorema equivalente al de Feuerbach
El teorema siguiente, muy sencillo de demostrar, y para
el que no hace falta hacer cuentas, implica directamente el de Feuerbach,
como se verá a continuación.
(1) Se dan dos círculos concéntricos Ksub1,
Ksub2. En el anillo interior se toma un punto M. Se trazan los cuatro círculos
que pasan por M y son tangentes a Ksub1 y Ksub2. Estos círculos
se cortan en P y Q, como indica la figura 1, y están situados sobre
MO. Entonces OP=OQ y así el círculo de centro O y radio OP=OQ
es concéntrico con Ksub1 y Ksub2.
La demostración se hace obvia sin más que observar
la figura.
De aquí se llega al teorema de Feuerbach a través
de pasos sencillos
(2) Sean Csub1, Csub2, Csub3, tres circunferencias concéntricas
y P un punto cualquiera no situado sobre ninguna de ellas (por ejemplo
exterior a las tres como en la figura). Se hace una inversión de
centro P y resultan las tres circunferencias inversas C*sub1, C*sub2 y
C*sub3. Entonces estas tres citrcunferencias tienen el mismo eje radical.
Como L y Csub1 se cortan ortogonalmente en S resulta que
L* y C*sub1 también lo hacen en S* y así ES* es el segmento
tangente a C*sub1 desde E. Igualmente para C*sub2 y C*sub3 y por tanto
la recta señalada es eje radical de las tres C*sub1, C*sub2, C*sub3.
(3) Sin más que hacer en (1) una inversión
de polo M resulta lo siguiente:
Se tienen dos circunferencias mutuamente exteriores K*sub1
y K*sub2 y se trazan las rectas tangentes comunes que se cortan en P* y
Q*. Entonces la circunferencia de diámetro P*Q* y las K*sub1 y K*sub2
tiene el mismo eje radical.
(4) De la propiedad anterior resulta ya el teorema de Feuerbach
fácilmente. Por ejemplo para la tangencia del círculo de
Feuerbach a dos círculos exinscritos:
Ya sabemos por (3) que la circunferencia de diámetro
AW'suba y las dos exinscritas en el triángulo ABC de la figura tienen
el mismo eje radical (que pasa por Msuba). Hacemos una inversión
de centro Msuba que deje invariantes las dos circunferencias exinscritas.
Como Msuba está en ese eje radical es claro que W'suba va a parar
a Hsuba. La recta t se convierte en una circunferencia que pasa por Msuba,
Hsuba y tiene en Msuba la dirección antiparalela a BC, es decir
es el círculo de los nueve puntos, que resulta así ser tangente
a los dos círculos exinscritos.
De forma semejante para la tangencia al círculo
inscrito y una exinscrita:
Ahora se toma una inversión de centro Msuba que deje
invariantes los dos círculos. Como antes, por (3) Wsuba va a parar
a H y así la transformada de t es la circunferencia de los nueve
puntos, tangente a las dos circunferencias.